מתמטריק
שאלה משולבת – קובייה במערכת ציריםוקטורים 572 · שיעור 38
וקטורים · שאלון 572

שאלה משולבת – קובייה במערכת צירים

פרק 9 – זוויות ומרחקים במרחב
1נוסח השאלה
2סעיף א – משוואת המישור
3סעיף ב – אלכסון מאונך למישור
4סעיף ג – זווית בין ישר למישור
5סעיף ד – מרחק נקודה ממישור
6סעיף ה – נפח הפירמידה
📄 נוסח השאלה
קובייה ABCDA′B′C′D′ שאורך מקצועה 4 מונחת במערכת צירים כך ש־A(0 , 0 , 0) , B(4 , 0 , 0) , D(0 , 4 , 0) , A′(0 , 0 , 4). הנקודה M היא אמצע המקצוע CC′.
א. מצאו את משוואת המישור BDA′.
ב. הראו שהאלכסון AC′ מאונך למישור BDA′.
ג. מצאו את הזווית בין הישר AM למישור BDA′.
ד. מצאו את המרחק של הקודקוד C′ מהמישור BDA′.
xyzABCDA′B′C′D′M
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. מצאו את הנפח של הפירמידה C′BDA′.
xyzABCDA′B′C′D′M
סעיף א – משוואת המישור
שיעורי הקודקודים: C(4 , 4 , 0) , C′(4 , 4 , 4) , M(4 , 4 , 2).
BD = D − B = (−4 , 4 , 0)
📐 וקטור בין שתי נקודות
BA′ = A′ − B = (−4 , 0 , 4)
וקטור נורמל n = (a , b , c) מאונך לשני הווקטורים:
📐 וקטור נורמל למישור
(a , b , c) · (−4 , 4 , 0) = 0
−4a + 4b = 0
xyzABCDA′B′C′D′M
📐 וקטור בין שתי נקודות
AB = B − A
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
📐 וקטור נורמל למישור
n · u = 0 , n · v = 0
סעיף א – משוואת המישור · המשך
−4a + 4b = 0
b = a
(a , b , c) · (−4 , 0 , 4) = 0
−4a + 4c = 0
c = a
נבחר a = 1:
xyzABCDA′B′C′D′M
סעיף א – משוואת המישור · המשך
נבחר a = 1:
n = (1 , 1 , 1)
ax + by + cz + d = 0
📐 משוואת מישור
נציב a = 1 , b = 1 , c = 1 , B(4 , 0 , 0):
4 + 0 + 0 + d = 0
d = −4
xyzABCDA′B′C′D′M
📐 משוואת מישור
ax + by + cz + d = 0
n = (a , b , c) מאונך למישור
סעיף א – משוואת המישור · המשך
d = −4
x + y + z − 4 = 0
בדיקה: D: 0 + 4 + 0 − 4 = 0 ✓ , A′: 0 + 0 + 4 − 4 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: x + y + z − 4 = 0
xyzABCDA′B′C′D′M
סעיף ב – אלכסון מאונך למישור
AC′ = C′ − A = (4 , 4 , 4)
📐 וקטור בין שתי נקודות
AC′ = 4 · (1 , 1 , 1) = 4n
הווקטור AC′ קולינארי לנורמל, ולכן הוא מאונך למישור:
📐 ישר מאונך למישור
✅ פתרון סופי: AC′ ⊥ BDA′
xyzABCDA′B′C′D′M
📐 וקטור בין שתי נקודות
AB = B − A
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
📐 ישר מאונך למישור
וקטור הכיוון של הישר הוא וקטור הנורמל של המישור: u = n
סעיף ג – זווית בין ישר למישור
AM = M − A = (4 , 4 , 2)
📐 וקטור בין שתי נקודות
n · AM = 4 + 4 + 2 = 10
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
|AM| = √42 + 42 + 22 = √36 = 6
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
sin(∡) = |n · u||n| · |u|
📐 הזווית בין ישר למישור
נציב n · u = 10 , |n| = √3 , |u| = 6:
sin(∡) = 10√3 · 6 ≈ 0.9623
xyzABCDA′B′C′D′M
📐 וקטור בין שתי נקודות
AB = B − A
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
📐 הזווית בין ישר למישור
sin(∡) = |n · u||n| · |u|
סעיף ג – זווית בין ישר למישור · המשך
sin(∡) = 10√3 · 6 ≈ 0.9623
במחשבון: SHIFT sin:
∡ ≈ 74.21
✅ פתרון סופי: ∡ ≈ 74.21 מעלות
xyzABCDA′B′C′D′M
סעיף ד – מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב C′(4 , 4 , 4) , a = b = c = 1 , d = −4:
מרחק = |4 + 4 + 4 − 4|√12 + 12 + 12 = 8√3 ≈ 4.62
✅ פתרון סופי: המרחק 8√3 ≈ 4.62
xyzABCDA′B′C′D′M
📐 מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
סעיף ה – נפח הפירמידה
|BD| = √(−4)2 + 42 + 02 = √32 = 4√2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
כל צלעות המשולש BDA′ הן אלכסונים של פאות הקובייה, לכן המשולש שווה צלעות עם צלע 4√2.
S = √34 · a2
📐 שטח משולש שווה צלעות
נציב a = 4√2:
S = √34 · (4√2)2 = √34 · 32 = 8√3
הגובה של הפירמידה מהקודקוד C′ הוא המרחק מסעיף ד.
xyzABCDA′B′C′D′M
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
📐 שטח משולש שווה צלעות
S = √34 · a2
סעיף ה – נפח הפירמידה · המשך
הגובה של הפירמידה מהקודקוד C′ הוא המרחק מסעיף ד.
V = S · h3
📐 נפח פירמידה
נציב S = 8√3 , h = 8√3:
V = 8√3 · 8√33 = 643 ≈ 21.33
✅ פתרון סופי: V = 643 ≈ 21.33
xyzABCDA′B′C′D′M
📐 נפח פירמידה
V = Sבסיס · h3

📌 סיכום התשובות

סעיף א
x + y + z − 4 = 0
סעיף ב
AC′ = 4n
סעיף ג
≈ 74.21 מעלות
סעיף ד
8√3 ≈ 4.62
סעיף ה
643 ≈ 21.33
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא